Calcul infinitésimal Exemples

$x^{- 3} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.3

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.3.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.6.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.6.2.4

Associez $\ln (x)$ et $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.6.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- 3 \ln (x) = - 1$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (x) = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (x) = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.6

Réécrivez $\ln (x) = \frac{1}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 2.7

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

$x = e^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $x^{- 3} \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $e^{\frac{1}{3}}$ .

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{1}{3}$ de l’exposant.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

Étape 4.1.2.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{e \cdot 3}$

Étape 4.1.2.7

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$\frac{1}{3 e}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

Étape 5