Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x^{2} (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{2}{3} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{2}{3} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \cdot 2 \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- 2 (\frac{2}{3}) \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 2 \cdot 2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 5.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u)$

Étape 7

Développez $u^{\frac{3}{2}} (- u + 1)$ .

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Étape 7.3

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.4

Factorisez le signe négatif.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.5

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.9

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.10

Multipliez $u^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7.11

Remettez dans l’ordre $- u^{\frac{5}{2}}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}} d u)$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Étape 10

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - \int u^{\frac{5}{2}} d u))$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Étape 13

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Étape 13.1

Associez $\frac{2}{7}$ et $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Étape 13.2

Simplifiez

$- \frac{2}{3} x^{2} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3.2

Associez ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{x^{2} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \cdot 2)}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{2})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3.5

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Étape 13.3.6

Associez $u^{\frac{7}{2}}$ et $\frac{2}{7}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{u^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{7})) + C$

Étape 13.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot u^{\frac{7}{2}}}{7})) + C$

Étape 13.3.8

Pour écrire $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 13.3.9

Associez $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Étape 13.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Étape 13.3.11

Associez $\frac{4}{3}$ et $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Étape 13.3.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{12}{3}}{3} + C$

Étape 13.3.13

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 13.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3}}{3} + C$

Étape 13.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}{3} + C$

Étape 13.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Étape 13.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4}{1}}{3} + C$

Étape 13.3.13.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 4}{3} + C$

Étape 13.3.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} {(1 - x)}^{\frac{7}{2}})) + C$