Calcul infinitésimal Exemples

$- (x + 1) \sin (5 x)$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int (x + 1) \sin (5 x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x + 1$ et $d v = \sin (5 x)$ .

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x)$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- ((x + 1) (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\cos (5 x)$ et $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + 1 (\frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x)$

Étape 5

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \cos (u) \frac{1}{5} d u)$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} \int \frac{\cos (u)}{5} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u))$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{5 \cdot 5} \int \cos (u) d u)$

Étape 8.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} \int \cos (u) d u)$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$

Étape 10

Réécrivez $- ((x + 1) (- \frac{\cos (5 x)}{5}) + \frac{1}{25} (\sin (u) + C))$ comme $- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$ .

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (u)}{25}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$- (- \frac{\cos (5 x) x}{5} - \frac{\cos (5 x)}{5} + \frac{\sin (5 x)}{25}) + C$

Étape 12

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- - \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 12.2

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Étape 12.2.1

Multipliez $- - \frac{\cos (5 x) x}{5}$ .

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $\frac{\cos (5 x) x}{5}$ par $1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} - - \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $- - \frac{\cos (5 x)}{5}$ .

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + 1 \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{\cos (5 x)}{5}$ par $1$ .

$\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 12.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25}$ .

$\frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{5} - \frac{\sin (5 x)}{25} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{5} \cos (5 x) - \frac{1}{25} \sin (5 x) + C$