Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x \sqrt{5 - x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x}$ comme ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - x$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.3

Placez ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.2

Associez $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$4 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$4 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 (\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 1.16

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.17

Pour écrire ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.18

Associez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.20.1

Déplacez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.21.1

Simplifiez ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$4 \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 - x$ .

$4 \frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Associez $4$ et $\frac{- x + 2 (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- x + 2 (5 - x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.23

Factorisez $2$ à partir de $4 (- x + 2 (5 - x))$ .

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.24

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.24.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- x + 2 (5 - x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25

Simplifiez

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Étape 1.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x) + 2 (2 \cdot 5) + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.25.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.25.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 (2 \cdot 5) + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3.1.2

Multipliez $2 (2 \cdot 5)$ .

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Étape 1.25.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 10 + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{- 2 x + 20 + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 20 + 2 (- 2 x)}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 20 - 4 x}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 6 x + 20}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x + 20$ .

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Étape 1.25.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x) + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.5.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{2 (- 3 x) + 2 (10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x) + 2 (10)$ .

$\frac{2 (- 3 x + 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{2 (- (3 x) + 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.7

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (3 x) - 1 (- 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (3 x - 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.9

Réécrivez $- (3 x - 10)$ comme $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x - 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 10}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{3 x - 10}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 10$ et $g (x) = {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.4

Simplifiez

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.5

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{- x + 5}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x + 5$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x + 5$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x + 5$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(- x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{{(- x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.11.3

Placez ${(- x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x + 5))}{- x + 5}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (5)))}{- x + 5}$

Étape 2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)))}{- x + 5}$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)))}{- x + 5}$

Étape 2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (5)))}{- x + 5}$

Étape 2.16

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 + 0))}{- x + 5}$

Étape 2.17

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1)}{- x + 5}$

Étape 2.17.2

Associez $\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) \frac{- 1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$

Étape 2.17.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (- \frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.17.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.17.3.3

Multipliez $3 x - 10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.17.4

Associez $- 2$ et $\frac{3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) \frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x + 5}$

Étape 2.17.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x + 5}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 2 ((3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x + 5}$

Étape 2.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x - 10) \frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.18.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x - 10) \frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 2 ((3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + 2 ((3 x - 10) \frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (3 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.2

Laissez $u_{2} = {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 2.18.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 10}{2 u_{2}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 10}{2 u_{2}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 {({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4

Simplifiez

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Étape 2.18.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.18.2.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.18.2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 (- x + 5) + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.2

Simplifiez

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 (- x + 5) + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{6 (- x) + 6 \cdot 5 + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 6 x + 6 \cdot 5 + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.1.5

Multipliez $6$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 6 x + 30 + 3 x - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.2

Additionnez $- 6 x$ et $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 30 - 10}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.2.4.3

Soustrayez $10$ de $30$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 3 x + 20}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{- x + 5}$

Étape 2.18.3

Associez des termes.

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Étape 2.18.3.1

Associez $2$ et $\frac{- 3 x + 20}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x + 20)}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$

Étape 2.18.3.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (- 3 x + 20)}{2 {(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$

Étape 2.18.3.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$

Étape 2.18.3.4

Réécrivez $\frac{\frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{- x + 5}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x + 5})$

Étape 2.18.3.5

Multipliez $\frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x + 5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- x + 5)}$

Étape 2.18.3.6

Multipliez ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x + 5$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.3.6.1

Multipliez ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x + 5$ .

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Étape 2.18.3.6.1.1

Élevez $- x + 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}} (- x + 5)}$

Étape 2.18.3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.18.3.6.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.18.3.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.18.3.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.5

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 20)}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.7

Réécrivez $- (3 x - 20)$ comme $- 1 (3 x - 20)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 20)}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.18.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.18.10

Multipliez $\frac{3 x - 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{{(- x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x}$ comme ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - x$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.2

Associez $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$4 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$4 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 (\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 4.1.16

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.17

Pour écrire ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.18

Associez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.20.1

Déplacez ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$4 \frac{- x + {(5 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.21.1

Simplifiez ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$4 \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 - x$ .

$4 \frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22

Associez $4$ et $\frac{- x + 2 (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- x + 2 (5 - x))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.23

Factorisez $2$ à partir de $4 (- x + 2 (5 - x))$ .

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.24

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.24.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.24.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 (- x + 2 (5 - x)))}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.24.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- x + 2 (5 - x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x) + 2 (2 \cdot 5) + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.25.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.25.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 (2 \cdot 5) + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3.1.2

Multipliez $2 (2 \cdot 5)$ .

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Étape 4.1.25.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 10 + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{- 2 x + 20 + 2 (2 (- x))}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 20 + 2 (- 2 x)}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 20 - 4 x}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 6 x + 20}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 x + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x + 20$ .

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Étape 4.1.25.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x) + 20}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.5.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{2 (- 3 x) + 2 (10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x) + 2 (10)$ .

$\frac{2 (- 3 x + 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{2 (- (3 x) + 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.7

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (3 x) - 1 (- 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{2 (- (3 x - 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.9

Réécrivez $- (3 x - 10)$ comme $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x - 10))}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 (3 x - 10)}{{(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x - 10) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x - 10) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x - 10) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $3 x - 10$ par $1$ .

$3 x - 10 = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x - 10 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 10$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{2 (3 x - 10)}{\sqrt{{(- x + 5)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{2 (3 x - 10)}{\sqrt{- x + 5}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (3 x - 10)}{\sqrt{- x + 5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x + 5} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x + 5}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x + 5}$ comme ${(- x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x + 5)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x + 5 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x + 5 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x + 5}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x + 5 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < - 5$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x < - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < - 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x > 5$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{10}{3}, 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{10}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{{(- (\frac{10}{3}) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{{(- \frac{10}{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 - 20}{{(- \frac{10}{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $20$ de $10$ .

$\frac{- 10}{{(- \frac{10}{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{{(- \frac{10}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{{(- \frac{10}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 10}{{(\frac{- 10 + 5 \cdot 3}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{- 10}{{(\frac{- 10 + 15}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.4.2

Additionnez $- 10$ et $15$ .

$\frac{- 10}{{(\frac{5}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 10}{\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 10 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.4

Associez $- 10$ et $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = \frac{10}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{10}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{10}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{10}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{10}{3}) = 4 (\frac{10}{3}) \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $4 (\frac{10}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Associez $4$ et $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{4 \cdot 10}{3} \cdot \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}}$

Étape 11.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3 - 10}{3}}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{\frac{15 - 10}{3}}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $10$ de $15$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}$

Étape 11.2.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Étape 11.2.7

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 11.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 11.2.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 11.2.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 11.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Étape 11.2.9.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 11.2.10

Multipliez $\frac{40}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

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Étape 11.2.10.1

Multipliez $\frac{40}{3}$ par $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40 \sqrt{15}}{3 \cdot 3}$

Étape 11.2.10.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{40 \sqrt{15}}{9}$

Étape 11.2.11

La réponse finale est $\frac{40 \sqrt{15}}{9}$ .

$y = \frac{40 \sqrt{15}}{9}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 (5) - 20}{{(- (5) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{{(- 5 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3 (5) - 20}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (5) - 20}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (5) - 20}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (5) - 20}{0^{3}}$

Étape 13.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 (5) - 20}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15