Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.6

Multipliez $3 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.7

Multipliez $12 x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

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Étape 1.3.3.1.3.1

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3.2

Additionnez $3 x^{4} + 12 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.3.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.6

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.8

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $12 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Additionnez $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Soustrayez $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.9

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + 0) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.11

Additionnez $4 x^{3} + 12 x + 12$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) + (- 4 x^{4} - 4 (6 x^{2}) - 4 (12 x) - 4 \cdot - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.10.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.5

Déplacez $12$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 \cdot x^{2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.6

Multipliez $4 x^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.7

Multipliez $12 x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2.8

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.3

Additionnez $12 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.10.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{1 + 4} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.4.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.10.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{1 + 2}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{3}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.6

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x^{2}) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.8

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.10.3.2.1

Soustrayez $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 + 0 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.2.2

Additionnez $16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.3

Soustrayez $24 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.4

Soustrayez $48 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 12 + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.3.5

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12$ .

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Étape 2.10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.3

Factorisez $4$ à partir de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.4

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.4.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - (9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3}) - (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.8

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.10

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.12

Réécrivez $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ comme $- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.6

Multipliez $3 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.7

Multipliez $12 x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

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Étape 4.1.3.3.1.3.1

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.3.2

Additionnez $3 x^{4} + 12 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.6

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.8

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.2.1

Soustrayez $12 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.2.2

Additionnez $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.3

Soustrayez $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.61201265, 0.2245718$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.61201265, 0.2245718$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.61201265$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (2 {(- 1.61201265)}^{3} + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot - 4.18895161 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $- 4.18895161$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 \cdot 2.59858481 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $9$ par $2.59858481$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1.61201265$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.6

Additionnez $- 8.37790322$ et $23.38726331$ .

$- \frac{4 (15.00936008 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.7

Additionnez $15.00936008$ et $9.67207595$ .

$- \frac{4 (24.68143604 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.8

Soustrayez $3$ de $24.68143604$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{(2.59858481 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $2.59858481$ et $1$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{3.59858481}^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $3.59858481$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{46.60099914}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $4$ par $21.68143604$ .

$- \frac{86.72574416}{46.60099914}$

Étape 9.3.2

Divisez $86.72574416$ par $46.60099914$ .

$- 1 \cdot 1.86102756$

Étape 9.3.3

Multipliez $- 1$ par $1.86102756$ .

$- 1.86102756$

Étape 10

$x = - 1.61201265$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.61201265$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.61201265$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.61201265$ dans l’expression.

$f (- 1.61201265) = \frac{{(- 1.61201265)}^{3} + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 \cdot 2.59858481 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $6$ par $2.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1.61201265$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.1.5

Additionnez $- 4.18895161$ et $15.59150887$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{11.40255726 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.1.6

Additionnez $11.40255726$ et $4.83603797$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Élevez $- 1.61201265$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{2.59858481 + 1}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $2.59858481$ et $1$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{3.59858481}$

Étape 11.2.3

Divisez $16.23859524$ par $3.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = 4.51249479$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $4.51249479$ .

$y = 4.51249479$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.2245718$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (2 {(0.2245718)}^{3} + 9 {(0.2245718)}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({(0.2245718)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $0.2245718$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot 0.01132571 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $2$ par $0.01132571$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Élevez $0.2245718$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot 0.05043249 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Multipliez $9$ par $0.05043249$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 6$ par $0.2245718$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.6

Additionnez $0.02265143$ et $0.45389244$ .

$- \frac{4 (0.47654387 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.7

Soustrayez $1.3474308$ de $0.47654387$ .

$- \frac{4 (- 0.87088692 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.1.8

Soustrayez $3$ de $- 0.87088692$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Élevez $0.2245718$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{(0.05043249 + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $0.05043249$ et $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{1.05043249}^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $1.05043249$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{1.15905606}$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Multipliez $4$ par $- 3.87088692$ .

$- \frac{- 15.48354771}{1.15905606}$

Étape 13.3.2

Divisez $- 15.48354771$ par $1.15905606$ .

$- - 13.35875651$

Étape 13.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 13.35875651$ .

$13.35875651$

Étape 14

$x = 0.2245718$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.2245718$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.2245718$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.2245718$ dans l’expression.

$f (0.2245718) = \frac{{(0.2245718)}^{3} + 6 {(0.2245718)}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{(0.2245718)}^{2} + 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $0.2245718$ à la puissance $3$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot {0.2245718}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $0.2245718$ à la puissance $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot 0.05043249 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $6$ par $0.05043249$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0.2245718$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.1.5

Additionnez $0.01132571$ et $0.30259496$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.31392067 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.1.6

Soustrayez $0.6737154$ de $0.31392067$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $0.2245718$ à la puissance $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{0.05043249 + 1}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $0.05043249$ et $1$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{1.05043249}$

Étape 15.2.3

Divisez $- 0.35979472$ par $1.05043249$ .

$f (0.2245718) = - 0.34252055$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 0.34252055$ .

$y = - 0.34252055$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1.61201265, 4.51249479)$ est un maximum local

$(0.2245718, - 0.34252055)$ est un minimum local

Étape 17