Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Étape 2.2.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = - x^{2}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 3.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 3.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 3.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 3.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion