Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Étape 1

Écrivez $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ et $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.6.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.2.6.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.8

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

Définissez $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Remplacez le $4 \cos^{2} (x)$ par $4 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.2.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.2.3.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 3.5.2.3.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 3.5.2.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Étape 3.5.2.5

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.5.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Étape 3.5.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 3.5.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Étape 3.5.2.5.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Étape 3.5.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $- 6$ .

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Étape 3.5.2.5.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Étape 3.5.2.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.5.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Étape 3.5.2.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Étape 3.5.2.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.5.2.7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.2.7.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.7.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.7.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.7.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.7.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.2.7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.2.7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.2.7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.2.7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.2.7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.2.7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.2.7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.2.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.5.2.10.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.10.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.10.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.5.2.10.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.5.2.10.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.5.2.10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2.10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.2.10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.2.10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.5.2.10.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5.2.11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.5.2.11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.5.2.11.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.11.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.11.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 3.5.2.11.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.5.2.11.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 3.5.2.11.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 3.5.2.11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.5.2.11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2.11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.2.11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.2.11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.5.2.11.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.5.2.11.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 3.5.2.11.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.11.6.3

Associez les fractions.

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Étape 3.5.2.11.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.5.2.11.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.5.2.11.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.11.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 3.5.2.11.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 3.5.2.11.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 3.5.2.11.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5.2.12

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5.2.13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Le point trouvé en remplaçant dans $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ est $(,)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(,)$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{π}{4}$ dans $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Étape 4.2.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Étape 4.2.2.1.8

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 4.2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 4.2.2.2.3.2.4

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{4}$ dans $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ est $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Étape 4.4

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty,)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.88059055$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty,)$

Diminue sur $(- \infty,)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(, \frac{π}{4})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.39269908$ dans l’expression.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Étape 7.2

La réponse finale est $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Étape 7.3

Sur $0.39269908$ , la dérivée seconde est $2.43538245$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(, \frac{π}{4})$ .

Augmente sur $(, \frac{π}{4})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{4}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.88539816$ dans l’expression.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Étape 8.2

La réponse finale est $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Étape 8.3

Sur $0.88539816$ , la dérivée seconde est $- 1.38422929$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{π}{4}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{π}{4}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Étape 10