Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{128}{x}$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Associez $- 128$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Étape 1.1.1.5.2.3

Additionnez $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $128 x$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $128$ par $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{128}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.1.2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.1.2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.1.2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2

Associez $256$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $128$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ par $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$256 = - 128 x^{3}$

Étape 1.2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $256$ des deux côtés de l’équation.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Étape 1.2.5.3

Factorisez $- 128$ à partir de $- 128 x^{3} - 256$ .

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Étape 1.2.5.3.1

Factorisez $- 128$ à partir de $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Étape 1.2.5.3.2

Factorisez $- 128$ à partir de $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.5.3.3

Factorisez $- 128$ à partir de $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Étape 1.2.5.4

Divisez chaque terme dans $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ par $- 128$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ par $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Étape 1.2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 128$ .

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Étape 1.2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Étape 1.2.5.4.2.1.2

Divisez $x^{3} + 2$ par $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Étape 1.2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.4.3.1

Divisez $0$ par $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Étape 1.2.5.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 2$

Étape 1.2.5.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Étape 1.2.5.7

Simplifiez $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Étape 1.2.5.7.1

Réécrivez $- 2$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.7.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Étape 1.2.5.7.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Étape 1.2.5.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Étape 1.2.5.7.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{2}$ comme $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{128}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Étape 4.2.1.2

Divisez $256$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 4$ et $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $124$ .

$124$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Étape 5.2.1.2

Divisez $256$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 256$ et $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 128$ .

$- 128$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ car $f'' (- 1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Étape 6.2.1.2

Divisez $256$ par $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Étape 6.2.2

Additionnez $32$ et $128$ .

$f'' (2) = 160$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $160$ .

$160$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8