Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.4.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.5.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.1.13

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Simplifiez $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.4.2.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Étape 2.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Étape 2.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (x) = - 2$

Étape 2.5

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez $\ln (x) = - 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Étape 2.7.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x} = 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.5.2.2.1.4

Simplifiez

$4 x = 0^{2}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x = 0$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 3.6

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 3.7

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.8

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $\sqrt{x} \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{e^{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 4.1.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 4.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 4.1.2.5

Placez $e^{2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

Étape 4.1.2.6

Développez $\ln (e^{- 2})$ en déplaçant $- 2$ hors du logarithme.

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

Étape 4.1.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

Étape 4.1.2.9

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Étape 4.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt{0} \ln (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{0} \ln (0)$

Étape 4.2.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

Étape 5