Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \ln (3 x) + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.7

Associez $\frac{1}{3 x}$ et $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.9

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.10.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.2.10.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $x + \ln (3 x) (2 x)$ et $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (3 x) = - x$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (3 x) = - x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (3 x)$ par $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.1

Placez $e^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (3 x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x \leq 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 x \leq 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x \leq 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x \leq 0$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $x^{2} \ln (3 x) + 6$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Étape 4.1.2.5

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Étape 4.1.2.6

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Étape 4.1.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $\frac{1}{9 e}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez $\ln (3 (0))$ comme $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Étape 4.2.2.1.3

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Étape 4.2.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Étape 5