Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 - x^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 2.3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 4

Évaluez $1 - x^{\frac{3}{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$1 - {(0)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$1 - {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 0^{3}$

Étape 4.1.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - 0$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 5