Calcul infinitésimal Exemples

$q = \tan (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ est $f' (g (q)) g' (q)$ où $f (q) = \tan (q)$ et $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Étape 2

Multipliez $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ par $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}} \cdot \frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}]$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ par $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8} \sqrt{t + 8}}]$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{t + 8}$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} \sqrt{t + 8}}]$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{t + 8}$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} {\sqrt{t + 8}}^{1}}]$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1 + 1}}]$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{2}}]$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{t + 8}}^{2}$ comme $t + 8$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 8}$ comme ${(t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{({(t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{1}}]$

Étape 3.6.5

Simplifiez

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}]$

Étape 4

Comme $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ par rapport à $q$ est $0$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \cdot 0$

Étape 5

Multipliez $\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$ par $0$ .

$0$