Calcul infinitésimal Exemples

$J_{j (θ)} = - y^{(j)} \log (σ) (x^{(j)} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ (x^{(j)} \cdot θ))$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle d’enchaînement. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ x^{j} θ)]$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log (1 - σ x^{j} θ)$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ) - (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{(j)} \log (σ) (x^{j} \cdot θ)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \log (σ) x^{j} θ$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{j} \log (σ) (x^{j} θ)$ par rapport à $y$ est $- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ \frac{d}{d y} [y^{j}] + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- (1 - y^{(j)}) \log (1 - σ θ x^{j})]$ .

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Étape 4.1

Comme $- \log (1 - σ θ x^{j})$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (1 - y^{j}) \log (1 - σ θ x^{j})$ par rapport à $y$ est $- \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) \frac{d}{d y} [1 - y^{j}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y^{j}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 + \frac{d}{d y} [- y^{j}])$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{j}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{j}]$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - \frac{d}{d y} [y^{j}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = j$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (0 - (j y^{j - 1}))$

Étape 4.6

Soustrayez $j y^{j - 1}$ de $0$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) - \log (1 - σ θ x^{j}) (- j y^{j - 1})$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + 1 \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Étape 4.8

Multipliez $\log (1 - σ θ x^{j})$ par $1$ .

$- \log (σ) x^{j} θ (j y^{j - 1}) + \log (1 - σ θ x^{j}) (j y^{j - 1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y^{j - 1} x^{j} j θ \log (σ) + y^{j - 1} j \log (1 - σ θ x^{j})$ .

$- j θ y^{j - 1} x^{j} \log (σ) + j y^{j - 1} \log (1 - σ θ x^{j})$