Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{-1} (\sin (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos^{-1} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos^{-1} (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \cos (x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x)}}$

Étape 3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$