Calcul infinitésimal Exemples

$2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Étape 1

Écrivez $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ comme une fonction.

$f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$ .

$\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2.34 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2.34$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.34 x$ par rapport à $x$ est $2.34 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.34 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2.34 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2.34$ par $1$ .

$2.34 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- \frac{1}{28000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{28000}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2.34 - 2 (\frac{1}{28000}) x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{28000}$ .

$2.34 + \frac{- 2}{28000} x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{28000}$ et $x$ .

$2.34 + \frac{- 2 x}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $28000$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2.34 + \frac{2 (- x)}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $28000$ .

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 (14000)} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2.34 + \frac{- x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2.34 - \frac{x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000} + 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Additionnez $2.34 - \frac{x}{14000}$ et $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000}$

Étape 2.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{14000} + 2.34$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2.34$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{14000} = - 2.34$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 14000$ .

$- 14000 (- \frac{x}{14000}) = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $- 14000 (- \frac{x}{14000})$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $14000$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{14000}$ dans le numérateur.

$- 14000 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.1.1.1.2

Factorisez $14000$ à partir de $- 14000$ .

$14000 (- 1) \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$14000 \cdot - 1 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 14000 \cdot - 2.34$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 14000$ par $- 2.34$ .

$x = 32760$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $32760$ .

$32760$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ augmente et diminue est $(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$ .

$(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 32760)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $32759$ dans l’expression.

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun à $32759$ et $14000$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $32759$ comme $1 (32759)$ .

$f' (32759) = - \frac{1 (32759)}{14000} + 2.34$

Étape 6.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.2.1

Réécrivez $14000$ comme $1 (14000)$ .

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Étape 6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Étape 6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Étape 6.2.2

Pour écrire $2.34$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Étape 6.2.3

Associez $2.34$ et $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2.34$ par $14000$ .

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 32760}{14000}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 32759$ et $32760$ .

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun à $1$ et $14000$ .

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Étape 6.2.6.1

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$f' (32759) = \frac{1 (1)}{14000}$

Étape 6.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.6.2.1

Réécrivez $14000$ comme $1 (14000)$ .

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Étape 6.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Étape 6.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $\frac{1}{14000}$ .

$\frac{1}{14000}$

Étape 6.3

Sur $x = 32759$ la dérivée est $\frac{1}{14000}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 32760)$ .

Augmente sur $(- \infty, 32760)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(32760, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $32761$ dans l’expression.

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun à $32761$ et $14000$ .

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $32761$ comme $1 (32761)$ .

$f' (32761) = - \frac{1 (32761)}{14000} + 2.34$

Étape 7.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.2.1

Réécrivez $14000$ comme $1 (14000)$ .

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Étape 7.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Étape 7.2.2

Pour écrire $2.34$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Étape 7.2.3

Associez $2.34$ et $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $2.34$ par $14000$ .

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 32760}{14000}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 32761$ et $32760$ .

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Étape 7.2.6

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $14000$ .

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Étape 7.2.6.1

Réécrivez $- 1$ comme $1 (- 1)$ .

$f' (32761) = \frac{1 (- 1)}{14000}$

Étape 7.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.2.1

Réécrivez $14000$ comme $1 (14000)$ .

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Étape 7.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Étape 7.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Étape 7.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (32761) = - \frac{1}{14000}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $- \frac{1}{14000}$ .

$- \frac{1}{14000}$

Étape 7.3

Sur $x = 32761$ la dérivée est $- \frac{1}{14000}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(32760, \infty)$ .

Diminue sur $(32760, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 32760)$

Diminue sur : $(32760, \infty)$

Étape 9