Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 6}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- 6}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 6 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$12 x^{- 3}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.6.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{x^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{12}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{12}{x^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$12 = 0$

Étape 3.3

Comme $12 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = \frac{12}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $12$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{12}{{(1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{12}{1}$

Étape 8.2.2

Divisez $12$ par $1$ .

$f' (1) = 12$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $12$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 10