Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $x^{2} \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x \ln (x) = - x$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x \ln (x) = - x$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Étape 3.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 5.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.30326533$ dans l’expression.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Étape 8.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Multipliez $2$ par $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez $0.60653067 \ln (0.30326533)$ en déplaçant $0.60653067$ dans le logarithme.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Étape 8.2.2.3

Élevez $0.30326533$ à la puissance $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Étape 8.2.3

Additionnez $\ln (0.48496413)$ et $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Étape 8.3

Sur $x = 0.30326533$ la dérivée est $- 0.42041501$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Diminue sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $1.60653067$ dans l’expression.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Étape 10.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Multipliez $2$ par $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez $3.21306134 \ln (1.60653067)$ en déplaçant $3.21306134$ dans le logarithme.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Étape 10.2.2.3

Élevez $1.60653067$ à la puissance $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Étape 10.2.3

Additionnez $\ln (4.58705612)$ et $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $3.12976912$ .

$3.12976912$

Étape 10.3

Sur $x = 1.60653067$ la dérivée est $3.12976912$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Diminue sur : $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 12