Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 2)}^{3} (2 x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 2)}^{3}$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

${(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 2)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

${(x + 2)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 2)}^{3} (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

${(x + 2)}^{3} \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 2)}^{3}$ .

$2 \cdot {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (2 x - 1) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $3$ à gauche de $2 x - 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 \cdot (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} (1 + 0)$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2} \cdot 1$

Étape 4.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + 3 (2 x - 1) {(x + 2)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 {(x + 2)}^{3} + (3 (2 x) + 3 \cdot - 1) {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (6 x + 3 \cdot - 1) {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 {(x + 2)}^{3} + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.4

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x + 2)}^{3} + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + (6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de $(6 x - 3) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + {(x + 2)}^{2} (6 x - 3)$

Étape 5.4.3

Factorisez ${(x + 2)}^{2}$ à partir de ${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2)) + {(x + 2)}^{2} (6 x - 3)$ .

${(x + 2)}^{2} (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.5

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.6

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.7.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.7.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 (x + 2) + 6 x - 3)$

Étape 5.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 x + 2 \cdot 2 + 6 x - 3)$

Étape 5.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (2 x + 4 + 6 x - 3)$

Étape 5.9

Additionnez $2 x$ et $6 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 4 - 3)$

Étape 5.10

Soustrayez $3$ de $4$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 1)$

Étape 5.11

Développez $(x^{2} + 4 x + 4) (8 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (8 x) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.2.1

Déplacez $x$ .

$8 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$8 x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.12.5.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.6

Multipliez $4$ par $8$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 4 (8 x) + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.8

Multipliez $8$ par $4$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 32 x + 4 \cdot 1$

Étape 5.12.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 x^{3} + x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 32 x + 4$

Étape 5.13

Additionnez $x^{2}$ et $32 x^{2}$ .

$8 x^{3} + 33 x^{2} + 4 x + 32 x + 4$

Étape 5.14

Additionnez $4 x$ et $32 x$ .

$8 x^{3} + 33 x^{2} + 36 x + 4$