Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 6) (3 x - 4)$

Étape 1

Écrivez $(x + 6) (3 x - 4)$ comme une fonction.

$f (x) = (x + 6) (3 x - 4)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x + 6) (3 x - 4) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (3 x - 4) + 6 (3 x - 4) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (3 x) + x \cdot - 4 + 6 (3 x - 4) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (3 x) + x \cdot - 4 + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\int 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 4 + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 4$ .

$\int 3 \cdot x \cdot x - 4 \cdot x + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (x^{1} x) - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{1}) - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{1 + 1} - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.10

Multipliez $6$ par $3$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 18 x + 6 \cdot - 4 d x$

Étape 4.11

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 18 x - 24 d x$

Étape 4.12

Additionnez $- 4 x$ et $18 x$ .

$\int 3 x^{2} + 14 x - 24 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{2} d x + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{2} d x + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Étape 8

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , placez $14$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 \int x d x + \int - 24 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$x^{3} + 7 x^{2} - 24 x + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x + 6) (3 x - 4)$ .

$F (x) =$ $x^{3} + 7 x^{2} - 24 x + C$