Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Étape 5

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$e^{\tan (x)} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\tan (x)} + C$