Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Étape 4

Laissez $x = 2 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.6

Réécrivez $4 \tan^{2} (t)$ comme ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2 \sec (t)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 \sec (t)$ à partir de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 6

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Étape 7

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Étape 11

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 14

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Étape 17.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Étape 17.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Étape 17.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Étape 17.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Étape 17.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Étape 17.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Étape 17.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Étape 17.1.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Étape 17.1.10

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Étape 17.1.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Étape 17.1.12

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 17.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Étape 17.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Étape 17.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Étape 17.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Étape 17.1.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Étape 17.2

Pour écrire $- arcsec (\frac{x}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Étape 17.3

Associez $- arcsec (\frac{x}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Étape 17.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Étape 17.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Étape 17.5.2

Réécrivez l’expression.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Étape 17.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$