Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ par rapport à $x$ est $\arcsin (x)$

$\arcsin (x) + C + \int - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (x) + C - \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (x) + C - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arcsin (x) + C - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (x) + C - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\arcsin (x) + C - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (x) + C - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (x) + C - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\arcsin (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$