Calcul infinitésimal Exemples

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ comme $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ .

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.2

Développez $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x}$ dans le numérateur.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

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Étape 4.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Étape 4.3.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Étape 4.3.1.6.3

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Étape 4.3.1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Étape 4.3.1.6.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Étape 4.3.1.6.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Étape 4.3.1.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Étape 4.3.1.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Étape 11.2.2

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$