Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) d x$

Étape 1

Écrivez $\sin (2 x) d x$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (2 x) d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x d x$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int \sin (2 x) x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$d (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$d (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 8.2

Multipliez $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ par $1$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 10

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 13

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Étape 15

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Étape 15.1

Réécrivez $d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ comme $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

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Étape 15.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$d (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Étape 15.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (u)$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$d (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Étape 17

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Étape 17.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$d (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Étape 17.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (2 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$