Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 4.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 5.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 5.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 5.1.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 u d u$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int - 2 u d u$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int u d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{2} + C$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{2} + C$

Étape 9.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{2} + C$

Étape 9.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Étape 9.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} u^{2} + C$

Étape 9.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- u^{2} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{2} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- {(1 - x^{\frac{1}{2}})}^{2} + C$