Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{y^{2}}{b^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{y^{2}}{b^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Divisez $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}}{1}$

Étape 1.2.3.1.3

Divisez $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $b^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $b^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Étape 1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez $(- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = - 1 b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Étape 1.4.2.1.2

Réécrivez $- 1 b^{2}$ comme $- b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Étape 1.4.2.1.3

Associez $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ et $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2}}$

Étape 1.4.2.1.4

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 1.4.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

Étape 1.4.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $- b^{2}$ et $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$

Étape 1.5

Résolvez $y$ .

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Étape 1.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Étape 1.5.2.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- b^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1}$

Étape 1.5.2.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1)}$

Étape 1.5.2.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ comme ${(\frac{x}{a})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1)}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1^{2})}$

Étape 1.5.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{a}$ et $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + 1) (\frac{x}{a} - 1)}$

Étape 1.5.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + \frac{a}{a}) (\frac{x}{a} - 1)}$

Étape 1.5.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1)}$

Étape 1.5.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1 \cdot \frac{a}{a})}$

Étape 1.5.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} + \frac{- a}{a})}$

Étape 1.5.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} \frac{x - a}{a}}$

Étape 1.5.2.10

Associez les exposants.

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Étape 1.5.2.10.1

Associez $b^{2}$ et $\frac{x + a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a)}{a} \cdot \frac{x - a}{a}}$

Étape 1.5.2.10.2

Multipliez $\frac{b^{2} (x + a)}{a}$ par $\frac{x - a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a \cdot a}}$

Étape 1.5.2.10.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a}}$

Étape 1.5.2.10.4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a^{1}}}$

Étape 1.5.2.10.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1 + 1}}}$

Étape 1.5.2.10.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}}$

Étape 1.5.2.11

Réécrivez $\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}$ comme ${(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))$ .

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Étape 1.5.2.11.1

Factorisez la puissance parfaite $b^{2}$ dans $b^{2} (x + a) (x - a)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2}}}$

Étape 1.5.2.11.2

Factorisez la puissance parfaite $a^{2}$ dans $a^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}}$

Étape 1.5.2.11.3

Réorganisez la fraction $\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))}$

Étape 1.5.2.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{(x + a) (x - a)}$

Étape 1.5.2.13

Associez $\frac{b}{a}$ et $\sqrt{(x + a) (x - a)}$ .

$y = \pm \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Étape 1.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.5.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Étape 1.5.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Étape 1.5.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $\frac{1}{a^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Étape 3.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{2}{a^{2}} x + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Étape 3.2.2.4

Associez $\frac{2}{a^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $- \frac{1}{b^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y^{2}}{b^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y y')$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - 2 \frac{1}{b^{2}} (y y')$

Étape 3.2.3.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2}{b^{2}} (y y')$

Étape 3.2.3.6

Associez $y$ et $\frac{- 2}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2}{b^{2}} y'$

Étape 3.2.3.7

Associez $\frac{y \cdot - 2}{b^{2}}$ et $y'$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2 y'}{b^{2}}$

Étape 3.2.3.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2 \cdot y y'}{b^{2}}$

Étape 3.2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}} = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $\frac{2 x}{a^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y y'}{b^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{2 y y'}{b^{2}}}{1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $\frac{2 y y'}{b^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{\frac{2 x}{a^{2}}}{1}$

Étape 3.5.2.3.2

Divisez $\frac{2 x}{a^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{2 x}{a^{2}}$

Étape 3.5.3

Multipliez les deux côtés par $b^{2}$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Étape 3.5.4

Simplifiez

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $b^{2}$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Étape 3.5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y y' = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.2.1

Associez $\frac{2 x}{a^{2}}$ et $b^{2}$ .

$2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$

Étape 3.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Étape 3.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Étape 3.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Étape 3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Étape 3.5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Étape 3.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Étape 3.5.5.3.2

Associez.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Étape 3.5.5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Étape 3.5.5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (y)}$

Étape 3.5.5.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y' = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{b^{2} x}{a^{2} y} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$b^{2} x = 0$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $b^{2} x = 0$ par $b^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $b^{2} x = 0$ par $b^{2}$ .

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $b^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{b^{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $0$ par $b^{2}$ .

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - 1 (- a)$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $0 - a$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $0 - a$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Étape 5.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Étape 5.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.8

Soustrayez $a$ de $0$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $- a$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.10.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Étape 5.2.1.12

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $a^{2}$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Étape 5.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (0) = \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Étape 5.2.1.14

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $b i$ par $1$ .

$f (0) = b i$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $b i$ .

$b i$

Étape 6

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Étape 7

Solve the function $f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Étape 7.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - 1 (- a)$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $0 - a$ à la puissance $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $0 - a$ à la puissance $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Étape 7.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Étape 7.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.8

Soustrayez $a$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $- a$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.10.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Étape 7.2.1.12

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $a^{2}$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Étape 7.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (0) = - \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Étape 7.2.1.14

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $b i$ par $1$ .

$f (0) = - (b i)$

$f (0) = - b i$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- b i$ .

$- b i$

Étape 8

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = - b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Étape 9

There are no horizontal tangent lines on the function.

No horizontal tangent lines

Étape 10