Calcul infinitésimal Exemples

$36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = - 192$ et $c = 36 x^{2} + 288 x + 576$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ comme ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 192$ et $b = 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.3

Multipliez $6$ par $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.4

Multipliez $8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.5

Additionnez $- 192$ et $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.6

Additionnez $48 x$ et $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3.7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $192$ de $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x - 384$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $48$ à partir de $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $48$ par $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $2304 x (- x - 8)$ comme $48^{2} (x (- x - 8))$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Réécrivez $2304$ comme $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ comme ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3

Simplifiez

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.3

Multipliez $6$ par $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.4

Multipliez $8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.5

Additionnez $- 192$ et $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.6

Additionnez $48 x$ et $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.4.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3.7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $192$ de $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x - 384$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $48$ à partir de $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $48$ par $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $2304 x (- x - 8)$ comme $48^{2} (x (- x - 8))$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Réécrivez $2304$ comme $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.4.5

Factorisez $3$ à partir de $12 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y = \frac{3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 4 + 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 16 \cdot (36 x^{2} + 288 x + 576)$ comme ${(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{{(- 192)}^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.2

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3

Simplifiez

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Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 \cdot (6 x + 24)) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 8 (6 x) + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.3

Multipliez $6$ par $8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 8 \cdot 24) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.4

Multipliez $8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(- 192 + 48 x + 192) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.5

Additionnez $- 192$ et $192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{(48 x + 0) (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.6

Additionnez $48 x$ et $0$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (2 \cdot 4 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.5.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - (8 \cdot (6 x + 24)))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3.7.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x + 24))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 8 (6 x) - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 8 \cdot 24)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $24$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 192 - 48 x - 192)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $192$ de $- 192$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (- 48 x - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x - 384$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $48$ à partir de $- 48 x$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) - 384)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $48$ à partir de $- 384$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x) + 48 (- 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $48$ à partir de $48 (- x) + 48 (- 8)$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48 x \cdot (48 (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $48$ par $48$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{2304 x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $2304 x (- x - 8)$ comme $48^{2} (x (- x - 8))$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $2304$ comme $48^{2}$ .

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{192 \pm \sqrt{48^{2} (x (- x - 8))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{192 \pm 48 \sqrt{x (- x - 8)}}{32}$ .

$y = \frac{12 \pm 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $3$ à partir de $12 - 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y = \frac{3 (4) - 3 \sqrt{x (- x - 8)}}{2}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{x (- x - 8)}$ .

$y = \frac{3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4) + 3 (- \sqrt{x (- x - 8)})$ .

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

$y = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2} \to f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 x^{2} + 16 y^{2} + 288 x - 192 y + 576$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [16 y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 y^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$72 x + 16 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$72 x + 16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$72 x + 16 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$72 x + 16 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$72 x + 16 (2 y y') + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$72 x + 32 y y' + \frac{d}{d x} [288 x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [288 x]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $288$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $288 x$ par rapport à $x$ est $288 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $288$ par $1$ .

$72 x + 32 y y' + 288 + \frac{d}{d x} [- 192 y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 192 y]$ .

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Étape 3.2.5.1

Comme $- 192$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 192 y$ par rapport à $x$ est $- 192 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 3.2.6

Comme $576$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $576$ par rapport à $x$ est $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y' + 0$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Additionnez $72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$ et $0$ .

$72 x + 32 y y' + 288 - 192 y'$

Étape 3.2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y'$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$32 y y' + 72 x + 288 - 192 y' = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $72 x$ des deux côtés de l’équation.

$32 y y' + 288 - 192 y' = - 72 x$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $288$ des deux côtés de l’équation.

$32 y y' - 192 y' = - 72 x - 288$

Étape 3.5.2

Factorisez $32 y'$ à partir de $32 y y' - 192 y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $32 y'$ à partir de $32 y y'$ .

$32 y' y - 192 y' = - 72 x - 288$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $32 y'$ à partir de $- 192 y'$ .

$32 y' y + 32 y' \cdot - 6 = - 72 x - 288$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $32 y'$ à partir de $32 y' y + 32 y' \cdot - 6$ .

$32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ par $32 (y - 6)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $32 y' (y - 6) = - 72 x - 288$ par $32 (y - 6)$ .

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 y' (y - 6)}{32 (y - 6)} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 6$ .

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Étape 3.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 6)}{y - 6} = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $32$ .

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Étape 3.5.3.3.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 72 x$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{32 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $32 (y - 6)$ .

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{8 (- 9 x)}{8 (4 (y - 6))} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 288}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 288$ et $32$ .

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Étape 3.5.3.3.1.3.1

Factorisez $32$ à partir de $- 288$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{32 \cdot - 9}{32 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} + \frac{- 9}{y - 6}$

Étape 3.5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6}$

Étape 3.5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{9}{y - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9}{y - 6} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4 (y - 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{9}{y - 6}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{(y - 6) \cdot 4}$

Étape 3.5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y - 6) \cdot 4$ .

$y' = - \frac{9 x}{4 (y - 6)} - \frac{9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 9 x - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.3.3.5.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x - 9 \cdot 4$ .

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Étape 3.5.3.3.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x$ .

$y' = \frac{9 (- x) - 9 \cdot 4}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \cdot 4$ .

$y' = \frac{9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.5.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (- x) + 9 (- 1 \cdot 4)$ .

$y' = \frac{9 (- x - 1 \cdot 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y' = \frac{9 (- x - 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.6.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x) - 1 (4))}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{9 (- (x + 4))}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.3.6.4.1

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{9 (- 1 (x + 4))}{4 (y - 6)}$

Étape 3.5.3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{9 (x + 4)}{4 (y - 6)} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 (x + 4) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 (x + 4) = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $9 (x + 4) = 0$ par $9$ .

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (x + 4)}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Divisez $x + 4$ par $1$ .

$x + 4 = \frac{0}{9}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 + \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{16})}{2}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 + \sqrt{4^{2}})}{2}$

Étape 5.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 4) = \frac{3 (4 + 4)}{2}$

Étape 5.2.1.6

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 8}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (- 4) = \frac{24}{2}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $24$ par $2$ .

$f (- 4) = 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 6

Solve the function $f (x) = \frac{3 (4 - \sqrt{x (- x - 8)})}{2}$ at $x = - 4$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{(- 4) (- (- 4) - 8)})}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 (4 - 8)})}{2}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{- 4 \cdot - 4})}{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{16})}{2}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - \sqrt{4^{2}})}{2}$

Étape 6.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 1 \cdot 4)}{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 (4 - 4)}{2}$

Étape 6.2.1.7

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- 4) = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (- 4) = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- 4) = 0$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 12, y = 0$

$y = 12, y = 0$

Étape 8