Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$

Étape 1

Set each solution of $x^{3} y^{2}$ as a function of $x$ .

$y = x y^{3} + 6 \to f (x) = x y^{3} + 6$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x y^{3} + 6)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Étape 2.2.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Étape 2.2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{3} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Étape 2.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2.6

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 0$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Additionnez $3 x y^{2} y' + y^{3}$ et $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3}$

Étape 2.3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $3 y^{2} x y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $x y y'$ à partir de $2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $x y y'$ à partir de $2 x^{3} y y'$ .

$x y y' (2 x^{2}) - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $x y y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $x y y'$ à partir de $x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y)$ .

$x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ par $x y (2 x^{2} - 3 y)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ par $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2 x^{2} - 3 y$ .

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Étape 2.5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 2.5.4.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.5.4.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.5.4.3.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Étape 2.5.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Étape 2.5.4.3.2

Pour écrire $- \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 2.5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (2 x^{2} - 3 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{(2 x^{2} - 3 y) x}$

Étape 2.5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} - 3 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - 3 x y x$ .

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Étape 2.5.4.3.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 x y x$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (y - 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.3.5.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 (x \cdot x))}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.5.4.3.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y (y - 3 x^{2}) = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $y (y - 3 x^{2}) = 0$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $y (y - 3 x^{2}) = 0$ par $y$ .

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Divisez $y - 3 x^{2}$ par $1$ .

$y - 3 x^{2} = \frac{0}{y}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $y$ .

$y - 3 x^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - y$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - y$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - y$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- y}{- 3}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{y}{3}$

Étape 3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{y}{3}}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{y}{3}}$ .

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Étape 3.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{y}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.5.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.5.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.2.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.2.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$

Étape 3.2.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Étape 3.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Étape 3.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Étape 3.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Étape 4

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$ .

$\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Étape 5

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$ .

$- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

$y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Étape 7