Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{12 x^{2} + 13}}{14 x + 12}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{12 x^{2} + 13}}{14 x + 12}$ est indéfinie.

$x = - \frac{6}{7}$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{12 x^{2} + 13}}{14 x + 12}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{\frac{14 x}{x} + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $12$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{12 + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{12 + \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.6

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{12 + lim_{x \to \infty} \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.2.7

Placez le terme $13$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite.

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Étape 2.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 14 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x}}$

Étape 2.4.2

Évaluez la limite de $14$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x}}$

Étape 2.4.3

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $13$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{12 + 0}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{12}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{14 + 0}$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $14$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{14}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $14$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{14}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{7}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{12 x^{2} + 13}}{14 x + 12}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{\frac{14 x}{x} + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $12$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{12 + \frac{13}{x^{2}}}}{14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{12 + \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{12 + \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.7

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{13}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.2.8

Placez le terme $13$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 14 + \frac{12}{x}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 14 + lim_{x \to - \infty} \frac{12}{x}}$

Étape 3.4.2

Évaluez la limite de $14$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + lim_{x \to - \infty} \frac{12}{x}}$

Étape 3.4.3

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + 12 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 13 \cdot 0}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $13$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{12 + 0}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{12}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{- \sqrt{4 (3)}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{- 1 \cdot 2 \sqrt{3}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{14 + 12 \cdot 0}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.2.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{14 + 0}$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $14$ et $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{14}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $14$ .

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Étape 3.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{14}$

Étape 3.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (7)}$

Étape 3.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

Étape 3.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{3}}{7}$

Étape 3.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3}}{7}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{\sqrt{3}}{7}, - \frac{\sqrt{3}}{7}$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{6}{7}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{\sqrt{3}}{7}, - \frac{\sqrt{3}}{7}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7