Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ est indéfinie.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Comme $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la gauche et $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la droite, $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Comme $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la gauche et $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la droite, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 5.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Étape 5.6.2.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Étape 5.6.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.4.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.6.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.6.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 6.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

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Étape 6.4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Étape 6.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Étape 6.6.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Étape 6.6.2.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Étape 6.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Étape 6.6.4

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 6.6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.5.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.6.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 6.6.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 6.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 6.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 6.6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 10