Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x) + \tan (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$3 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $3$ .

$\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 1.5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \tan (x) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.3

Multipliez $\sec (x) \tan (x) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Étape 1.6.3.1

Associez $\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.3.2

Associez $\frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.4

Associez $\sec^{2} (x)$ et $\frac{3}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 3}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.5

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.7

Factorisez $3 \sec (x)$ à partir de $3 \sec (x) \tan (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

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Étape 1.6.7.1

Factorisez $3 \sec (x)$ à partir de $3 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) (\tan (x)) + 3 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.7.2

Factorisez $3 \sec (x)$ à partir de $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) (\tan (x)) + 3 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 1.6.7.3

Factorisez $3 \sec (x)$ à partir de $3 \sec (x) (\tan (x)) + 3 \sec (x) (\sec (x))$ .

$f' (x) = \frac{3 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ et $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))] - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x) + \sec (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)] + (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) + \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x))) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.9

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.10

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$3 \frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.11

Associez $3$ et $\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) + \sec (x)) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) \sec (x) + \sec (x) \sec (x)) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + (- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.6.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.6.1.1.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.1.1.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.1.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) ({\sec (x)}^{1 + 2} + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.2

Multipliez $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 2.12.6.1.1.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.2.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.3

Multipliez $\tan (x) \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.1.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.4

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.1.4.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.2

Additionnez $\sec^{2} (x) \tan (x)$ et $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 ((\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.3

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec^{3} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{3 (\sec (x) \sec^{3} (x) + \sec (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.6.1.4.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.4.1.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{3} (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.4.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x) + \sec (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 ({\sec (x)}^{1 + 3} + \sec (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + \sec (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.4.3.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 (\sec^{2} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.3.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.4.3.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 {\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.4

Multipliez $\sec (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))$ .

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Étape 2.12.6.1.4.4.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.6

Multipliez $2 \tan (x) \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.4.6.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.6.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec^{2} (x) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\tan^{2} (x) \sec (x))) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.7

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.4.7.1

Déplacez $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \tan (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.7.2

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.4.7.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + {\tan (x)}^{2 + 1} \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \sec^{3} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.5

Réorganisez les facteurs de $\tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{3} (x) \tan (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.6

Additionnez $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ et $\sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.7

Réorganisez les facteurs de $2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.8

Additionnez $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ et $2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 (\sec^{4} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 3 (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + 3 (3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 3 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.10

Simplifiez

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Étape 2.12.6.1.10.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 3 (3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 3 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.10.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 9 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.11

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.12

Multipliez $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.12.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.12.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 ((- \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.13

Développez $(- \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.12.6.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec (x) \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec (x) \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.12.6.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.12.6.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.6.1.14.1.1

Multipliez $- \sec (x) \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 2.12.6.1.14.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan (x) \tan (x) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.5

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec (x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.14.1.2.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.2.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.14.1.2.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} \tan (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.3

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.14.1.3.1

Déplacez $\sec (x)$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.3.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 2.12.6.1.14.1.3.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \sec^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.4

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.6.1.14.1.4.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 2})}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.14.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

Étape 2.12.6.1.14.2

Soustrayez $\sec^{3} (x) \tan (x)$ de $- \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 \sec^{3} (x) \tan (x) - \sec^{4} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) + 3 (- \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 3 (- 2 \sec^{3} (x) \tan (x)) + 3 (- \sec^{4} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.16

Simplifiez

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Étape 2.12.6.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 3 (- 2 \sec^{3} (x) \tan (x)) + 3 (- \sec^{4} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.16.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - 6 (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 3 (- \sec^{4} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.16.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - 6 (\sec^{3} (x) \tan (x)) - 3 \sec^{4} (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.1.17

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 6 \sec^{3} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.2

Associez les termes opposés dans $3 \sec^{4} (x) + 9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 6 \sec^{3} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x)$ .

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Étape 2.12.6.2.1

Soustrayez $3 \sec^{4} (x)$ de $3 \sec^{4} (x)$ .

$\frac{9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 6 \sec^{3} (x) \tan (x) + 0}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.2.2

Additionnez $9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 6 \sec^{3} (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\frac{9 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 6 \sec^{3} (x) \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.3

Soustrayez $6 \sec^{3} (x) \tan (x)$ de $9 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) \tan (x) + 9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x) - 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.6.4

Soustrayez $3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ de $9 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec^{3} (x) \tan (x) + 6 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.7.1

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $3 \sec^{3} (x) \tan (x) + 6 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x)$ .

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Étape 2.12.7.1.1

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 6 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.1.2

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $6 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (2 \sec (x) \tan (x)) + 3 \tan^{3} (x) \sec (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.1.3

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $3 \tan^{3} (x) \sec (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (2 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (\tan^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.1.4

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (2 \sec (x) \tan (x))$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (\tan^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.1.5

Factorisez $3 \sec (x) \tan (x)$ à partir de $3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) (\tan^{2} (x))$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.12.7.2.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sec (x) \tan (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \tan (x)$

Étape 2.12.7.2.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \tan (x) + \tan^{2} (x))}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.7.2.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \sec (x)$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.8

Annulez le facteur commun de ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

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Étape 2.12.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sec (x) \tan (x) {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2.12.8.2

Divisez $3 \sec (x) \tan (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 \sec (x) \tan (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 \sec (x) \tan (x)$ .

$3 \sec (x) \tan (x)$