Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - 8 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2} + 1)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2} + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2} + 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 8 (\cos (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x}{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.2

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + 0)$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $\frac{3}{2}$ et $0$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{3}{2}$

Étape 1.3.6.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 8$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{2} \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{- 24}{2} \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 1.3.6.4

Associez $\frac{- 24}{2}$ et $\cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{- 24 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)}{2}$

Étape 1.3.6.5

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 1.3.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2}$

Étape 1.3.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 (1)}$

Étape 1.3.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)}{1}$

Étape 1.3.6.5.2.4

Divisez $- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ par $1$ .

$f' (x) = - 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2} + 1)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2} + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2} + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 12 (- \sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$12 (\sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x}{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $\frac{3}{2}$ et $0$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{3}{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $12$ .

$\frac{3 \cdot 12}{2} \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 2.3.7.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{36}{2} \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 2.3.7.4

Associez $\frac{36}{2}$ et $\sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{36 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)}{2}$

Étape 2.3.7.5

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.5.1

Factorisez $2$ à partir de $36 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2}$

Étape 2.3.7.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 (1)}$

Étape 2.3.7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)}{1}$

Étape 2.3.7.5.2.4

Divisez $18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ par $1$ .

$f'' (x) = 18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Étape 3

La dérivée seconde de $g (x)$ par rapport à $x$ est $18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$