Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 4}^{4} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ comme $(4 + x) (4 - x)$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ comme ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = (4 + x) (4 - x)$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$V = (4 + x) (4 - x)$

Étape 2.2

Développez $(4 + x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = 4 (4 - x) + x (4 - x)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$V = 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$V = 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = 16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$V = 16 + 0 - x^{2}$

Étape 2.3.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$V = 16 - x^{2}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $16 x$ sur $4$ et sur $- 4$ .

$V = π ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $- 4$ .

$V = π (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $16$ par $4$ .

$V = π (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$V = π (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $64$ et $64$ .

$V = π (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Étape 7.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $1$ .

$V = π (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Étape 7.2.3.10

Additionnez $64$ et $64$ .

$V = π (128 - \frac{128}{3})$

Étape 7.2.3.11

Pour écrire $128$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Étape 7.2.3.12

Associez $128$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Étape 7.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $128$ par $3$ .

$V = π (\frac{384 - 128}{3})$

Étape 7.2.3.14.2

Soustrayez $128$ de $384$ .

$V = π (\frac{256}{3})$

Étape 7.2.3.15

Associez $π$ et $\frac{256}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 256}{3}$

Étape 7.2.3.16

Déplacez $256$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{256 π}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{256 π}{3}$

Forme décimale :

$V = 268.08257310 \dots$

Étape 9