Calcul infinitésimal Exemples

$x = 2 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 7$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{9.16515138} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 7$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{12}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$V = 49 - {(\frac{x^{2}}{12})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2}}{12}$ .

$V = 49 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{12^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 49 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{12^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 49 - \frac{x^{4}}{12^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$V = 49 - \frac{x^{4}}{144}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{9.16515138} 49 d x + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} + \int_{0}^{9.16515138} - \frac{x^{4}}{144} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \int_{0}^{9.16515138} \frac{x^{4}}{144} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{144}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{144}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - (\frac{1}{144} \cdot \int_{0}^{9.16515138} x^{4} d x))$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{144} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{9.16515138})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{1}{144} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138})$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}$ et $\frac{1}{144}$ .

$V = π (49 x]_{0}^{9.16515138} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{144})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $49 x$ sur $9.16515138$ et sur $0$ .

$V = π ((49 \cdot 9.16515138) - 49 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{9.16515138}}{144})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $9.16515138$ et sur $0$ .

$V = π ((49 \cdot 9.16515138) - 49 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $49$ par $9.16515138$ .

$V = π (449.0924181 - 49 \cdot 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 49$ par $0$ .

$V = π (449.0924181 + 0 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.3

Additionnez $449.0924181$ et $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{(\frac{{9.16515138}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.4

Élevez $9.16515138$ à la puissance $5$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

Étape 8.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{144})$

Étape 8.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - \frac{0}{1}}{144})$

Étape 8.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} - 0}{144})$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5} + 0}{144})$

Étape 8.2.3.8

Additionnez $\frac{64669.30820721}{5}$ et $0$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{\frac{64669.30820721}{5}}{144})$

Étape 8.2.3.9

Réécrivez $\frac{\frac{64669.30820721}{5}}{144}$ comme un produit.

$V = π (449.0924181 - (\frac{64669.30820721}{5} \cdot \frac{1}{144}))$

Étape 8.2.3.10

Multipliez $\frac{64669.30820721}{5}$ par $\frac{1}{144}$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{64669.30820721}{5 \cdot 144})$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $5$ par $144$ .

$V = π (449.0924181 - \frac{64669.30820721}{720})$

Étape 8.2.3.12

Pour écrire $449.0924181$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{720}{720}$ .

$V = π (449.0924181 \cdot \frac{720}{720} - \frac{64669.30820721}{720})$

Étape 8.2.3.13

Associez $449.0924181$ et $\frac{720}{720}$ .

$V = π (\frac{449.0924181 \cdot 720}{720} - \frac{64669.30820721}{720})$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{449.0924181 \cdot 720 - 64669.30820721}{720})$

Étape 8.2.3.15

Multipliez $449.0924181$ par $720$ .

$V = π (\frac{323346.54103608 - 64669.30820721}{720})$

Étape 8.2.3.16

Soustrayez $64669.30820721$ de $323346.54103608$ .

$V = π (\frac{258677.23282886}{720})$

Étape 8.2.3.17

Associez $π$ et $\frac{258677.23282886}{720}$ .

$V = \frac{π \cdot 258677.23282886}{720}$

Étape 8.2.3.18

Multipliez $π$ par $258677.23282886$ .

$V = \frac{812658.4943061}{720}$

Étape 9

Divisez $812658.4943061$ par $720$ .

$V = 1128.6923532$

Étape 10