Calcul infinitésimal Exemples

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$ , $(- 3, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 3$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{4} - 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez.

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Étape 1.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $4 y y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $4 y y'$ à partir de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ par $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2$ .

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Étape 1.5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = - 3$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$\frac{{(- 3)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{{(- 3)}^{3}}{(2) ({(2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 27}{2 (2^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 27}{2 (4 - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{- 27}{2 \cdot 2} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 27}{4} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{4} - \frac{9 (- 3)}{2 (2) ({(2)}^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.5

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$- \frac{27}{4} - \frac{- 27}{2 (2) (2^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{27}{4} - \frac{- 27}{4 (2^{2} - 2)}$

Étape 1.7.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.7.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{27}{4} - \frac{- 27}{4 (4 - 2)}$

Étape 1.7.3.7.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{27}{4} - \frac{- 27}{4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{27}{4} - \frac{- 27}{8}$

Étape 1.7.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{4} - - \frac{27}{8}$

Étape 1.7.3.10

Multipliez $- - \frac{27}{8}$ .

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Étape 1.7.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{27}{4} + 1 (\frac{27}{8})$

Étape 1.7.3.10.2

Multipliez $\frac{27}{8}$ par $1$ .

$- \frac{27}{4} + \frac{27}{8}$

Étape 1.7.4

Pour écrire $- \frac{27}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

Étape 1.7.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $\frac{27}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{27 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

Étape 1.7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 27 \cdot 2 + 27}{8}$

Étape 1.7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.7.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$\frac{- 54 + 27}{8}$

Étape 1.7.7.2

Additionnez $- 54$ et $27$ .

$\frac{- 27}{8}$

Étape 1.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{8}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{27}{8}$ et un point donné, tel que $(- 3, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{27}{8} \cdot (x - (- 3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - \frac{27}{8} x - \frac{27}{8} \cdot 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{27}{8}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 27}{8} - \frac{27}{8} \cdot 3$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{27}{8} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 27}{8} - 3 (\frac{27}{8})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $- 3$ et $\frac{27}{8}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 27}{8} + \frac{- 3 \cdot 27}{8}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 27}{8} + \frac{- 81}{8}$

Étape 2.3.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.6.1

Déplacez $27$ à gauche de $x$ .

$y - 2 = - \frac{27 \cdot x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Étape 2.3.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = - \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{27 x}{8} + \frac{- 81 + 2 \cdot 8}{8}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$y = - \frac{27 x}{8} + \frac{- 81 + 16}{8}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 81$ et $16$ .

$y = - \frac{27 x}{8} + \frac{- 65}{8}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{27 x}{8} - \frac{65}{8}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{27}{8} x) - \frac{65}{8}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{27}{8} x - \frac{65}{8}$

Étape 3