Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (3 x + y) = 3 x$ , $(0, 0)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\tan (3 x + y)) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan (y)$ et $g (y) = 3 x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + y$ .

$\sec^{2} (3 x + y) \frac{d}{d y} [3 x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1)$ .

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + \sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x' + 1) = 3 x'$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (3 x + y) (3 x') + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) \cdot 1 = 3 x'$

Étape 5.1.1.4.2

Multipliez $\sec^{2} (3 x + y)$ par $1$ .

$3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Étape 5.1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 \sec^{2} (3 x + y) x' + \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 3 x'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 x'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' = 0$

Étape 5.2.2

Déplacez $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 x'$ à partir de $3 x' \sec^{2} (3 x + y)$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) - 3 x' + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $3 x'$ à partir de $- 3 x'$ .

$3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1 + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $3 x'$ à partir de $3 x' \sec^{2} (3 x + y) + 3 x' \cdot - 1$ .

$3 x' (\sec^{2} (3 x + y) - 1) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Étape 5.2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) + \sec^{2} (3 x + y) = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $\sec^{2} (3 x + y)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ par $3 \tan^{2} (3 x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x' \tan^{2} (3 x + y) = - \sec^{2} (3 x + y)$ par $3 \tan^{2} (3 x + y)$ .

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x' \tan^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\tan^{2} (3 x + y)$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \tan^{2} (3 x + y)}{\tan^{2} (3 x + y)} = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- \sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 x + y)}{3 \tan^{2} (3 x + y)}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (3 (0) + 0)}$

Étape 8.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0 + 0)}$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \tan^{2} (0)}$

Étape 8.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0^{2}}$

Étape 8.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{3 \cdot 0}$

Étape 8.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{\sec^{2} (3 (0) + 0)}{0}$

Étape 8.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini