Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $x^{2} - x + 25$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} \frac{d}{d x} ((5 + x) (5 - x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 + x$ et $g (x) = 5 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (5 - x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) (- 1 \cdot 1) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $5 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.6.3

Réécrivez $- 1 (5 + x)$ comme $- (5 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (5 + x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.4.11

Multipliez $5 - x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - x + 25$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - (5 + x) (5 - x) (2 (x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $x^{2} - x + 25$ à partir de ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x^{2} - x + 25$ à partir de ${(x^{2} - x + 25)}^{2} (- (5 + x) + 5 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) - 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez $x^{2} - x + 25$ à partir de $- 2 (5 + x) (5 - x) ((x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.6.2.3

Factorisez $x^{2} - x + 25$ à partir de $(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x)) + (x^{2} - x + 25) (- 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{{(x^{2} - x + 25)}^{4}}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $x^{2} - x + 25$ à partir de ${(x^{2} - x + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) ((x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25)))}{(x^{2} - x + 25) {(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} - x + 25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.13

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.14

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- (5 + x) + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15

Simplifiez

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Étape 3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) - 2 (5 + x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.15.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.15.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 5 - x + 5 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.2

Associez les termes opposés dans $- 5 - x + 5 - x$ .

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Étape 3.15.3.1.2.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x + 0 - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- x - x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} - x + 25) (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 x) - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - x (- 2 x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) + 25 (- 2 x) + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} x - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.6.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x \cdot x) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 2 \cdot 5 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 - 2 x) (5 - x) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.8

Développez $(- 10 - 2 x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 (5 - x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x (5 - x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 10 \cdot 5 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.9.1.1

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 - 10 (- x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 x (- x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x)) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.3.1.9.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x - 2 \cdot (- 1 x^{2})) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 10 x - 10 x + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.2

Soustrayez $10 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 0 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.9.3

Additionnez $- 50$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x + (- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.10

Développez $(- 50 + 2 x^{2}) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.15.3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x - 1) + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 (2 x) - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.15.3.1.11.1

Multipliez $2$ par $- 50$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x - 50 \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.2

Multipliez $- 50$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.15.3.1.11.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.15.3.1.11.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.1.11.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

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Étape 3.15.3.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.2.2

Additionnez $- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50 + 4 x^{3}}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.3

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 100 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.3.4

Soustrayez $100 x$ de $- 50 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 150 x + 50$ .

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Étape 3.15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) - 150 x + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 150 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3}) + 2 (- 75 x) + 50}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.4.3

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 (- 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 75 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 3.15.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 75 x) + 2 \cdot 25$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 75 x + 25)}{{(x^{2} - x + 25)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $x^{2} - x + 25$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.2.9

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

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Étape 5.1.3.2.2.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.2.2

Additionnez $x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $5 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $5 + x$ égal à $0$ .

$5 + x = 0$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3.3

Définissez $5 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 6.3.3.2

Résolvez $5 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 + x) (5 - x) = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 5, 5$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(- 5)}^{3} - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 125 - 75 \cdot - 5 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 75$ par $- 5$ .

$\frac{2 (- 125 + 375 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $- 125$ et $375$ .

$\frac{2 (250 + 25)}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $250$ et $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{({(- 5)}^{2} - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 - (- 5) + 25)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(25 + 5 + 25)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Additionnez $25$ et $5$ .

$\frac{2 \cdot 275}{{(30 + 25)}^{3}}$

Étape 10.2.4

Additionnez $30$ et $25$ .

$\frac{2 \cdot 275}{55^{3}}$

Étape 10.2.5

Élevez $55$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot 275}{166375}$

Étape 10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Multipliez $2$ par $275$ .

$\frac{550}{166375}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $550$ et $166375$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $275$ à partir de $550$ .

$\frac{275 (2)}{166375}$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $275$ à partir de $166375$ .

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{275 \cdot 2}{275 \cdot 605}$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{605}$

Étape 11

$x = - 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Étape 12.2.1.3

Additionnez $25$ et $5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{30 + 25}$

Étape 12.2.1.4

Additionnez $30$ et $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{55}$

Étape 12.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $55$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{55}$

Étape 12.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $55$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Étape 12.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Étape 12.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5) = \frac{- 1}{11}$

Étape 12.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{1}{11}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 75 \cdot 5 + 25)}{{({(5)}^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (125 - 75 \cdot 5 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 75$ par $5$ .

$\frac{2 (125 - 375 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $375$ de $125$ .

$\frac{2 (- 250 + 25)}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14.1.4

Additionnez $- 250$ et $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(5^{2} - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - (5) + 25)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(25 - 5 + 25)}^{3}}$

Étape 14.2.3

Soustrayez $5$ de $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{{(20 + 25)}^{3}}$

Étape 14.2.4

Additionnez $20$ et $25$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{45^{3}}$

Étape 14.2.5

Élevez $45$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot - 225}{91125}$

Étape 14.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $- 225$ .

$\frac{- 450}{91125}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à $- 450$ et $91125$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $225$ à partir de $- 450$ .

$\frac{225 (- 2)}{91125}$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez $225$ à partir de $91125$ .

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{225 \cdot - 2}{225 \cdot 405}$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{405}$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{405}$

Étape 15

$x = 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun à $5$ et ${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

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Étape 16.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Étape 16.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5^{2}$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Étape 16.2.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Étape 16.2.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Étape 16.2.1.2.4

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Étape 16.2.1.2.5

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Étape 16.2.1.2.6

Annulez le facteur commun.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Étape 16.2.1.2.7

Réécrivez l’expression.

$f (5) = \frac{1}{5 - 1 + 5}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f (5) = \frac{1}{4 + 5}$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$f (5) = \frac{1}{9}$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{1}{9}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ .

$(- 5, - \frac{1}{11})$ est un minimum local

$(5, \frac{1}{9})$ est un maximum local

Étape 18