Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.6.3

Placez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.9

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 1.10

Associez les fractions.

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Étape 1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Étape 1.10.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 1.10.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Étape 1.10.4

Associez $\frac{4}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.3

Placez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.9.4

Associez $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.12

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.4

Associez $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19

Pour écrire ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.20

Associez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.23

Simplifiez ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.24

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$\frac{4}{3} (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.26

Multipliez $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.27

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.27.1

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 2.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 2.27.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.28

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.29

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30

Simplifiez

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Étape 2.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.2

Multipliez $4 (3 \cdot - 25)$ .

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Étape 2.30.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 25$ .

$\frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 75 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 75$ .

$\frac{12 x^{2} - 300 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{12 x^{2} - 300 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 300$ .

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Étape 2.30.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 300}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 300$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 75}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.30.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\frac{4}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (x^{2} - 75)}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 75}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 3.2

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4 \cdot 2}{3}}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 75] - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 75$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 75]) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.3.4

Comme $- 75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 75$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x + 0) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} (2 x) - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}]}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.9

Associez $\frac{4}{3}$ et ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.12

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.13.2

Associez $2$ et $\frac{4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{2 (4 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.13.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) (\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3} x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.13.4

Associez $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $x$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.13.5

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x - (x^{2} - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + (- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x) + 4 ((- x^{2} - - 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 75$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 ((- x^{2} + 75) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.4

Multipliez $- x^{2} \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ .

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Étape 3.14.3.4.1

Associez $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{2}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.3.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x)}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.14.3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (x^{2} x^{1})}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{2 + 1}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 75 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.14.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $75$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 (25) \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 3 \cdot 25 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 25 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.6

Multipliez $8$ par $25$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x))}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.7

Pour écrire $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot \frac{3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.8

Associez $200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 (- \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3}}{3} + \frac{200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3})}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.10.1

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $- 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x^{3} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3$ .

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Étape 3.14.3.10.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.14.3.10.1.1.1

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x \cdot 3}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.1.1.2

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.1.1.3

Déplacez $x$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.1.2

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $- 8 x^{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.1.3

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $200 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.1.4

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (25 \cdot 3)$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 25 \cdot 3)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.10.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + 4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.11

Multipliez $4 \frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ .

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Étape 3.14.3.11.1

Associez $4$ et $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{4 (8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.11.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x + \frac{32 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.12

Pour écrire $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot \frac{3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.13

Associez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3}{3} + \frac{32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15

Réécrivez $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 3.14.3.15.1

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} x \cdot 3 + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)$ .

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Étape 3.14.3.15.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.14.3.15.1.1.1

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 x \cdot 3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.1.1.2

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.1.1.3

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}} + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.1.2

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $8 \cdot 3 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.1.3

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $32 x {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (- x^{2} + 75)$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.1.4

Factorisez $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x$ à partir de $8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}}) + 8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (4 (- x^{2} + 75))$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.2

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 {(x^{2} - 25)}^{1} + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.3

Simplifiez

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 (x^{2} - 25) + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.5

Multipliez $3$ par $- 25$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2} + 75))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 4 \cdot 75)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.8

Multipliez $4$ par $75$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (3 x^{2} - 75 - 4 x^{2} + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.9

Soustrayez $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} - 75 + 300)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.10

Additionnez $- 75$ et $300$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 225)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.11

Réécrivez $- x^{2} + 225$ en forme factorisée.

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Étape 3.14.3.15.11.1

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (- x^{2} + 15^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.11.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $15^{2}$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15^{2} - x^{2})}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.3.15.11.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 15$ et $b = x$ .

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x ((15 + x) (15 - x))}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

$\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.4

Associez des termes.

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Étape 3.14.4.1

Réécrivez $\frac{\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ comme un produit.

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3} \cdot \frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.4.2

Multipliez $\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3}$ par $\frac{1}{9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{3 (9 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

Étape 3.14.4.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{8 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.4.4

Placez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}$

Étape 3.14.4.5

Multipliez ${(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}}$ par ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.4.5.1

Déplacez ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 ({(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{8}{3}})}$

Étape 3.14.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}}}$

Étape 3.14.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1 + 8}{3}}}$

Étape 3.14.4.5.4

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$f''' (x) = \frac{8 x (15 + x) (15 - x)}{27 {(x^{2} - 25)}^{\frac{7}{3}}}$