Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 108$ .

$\frac{(x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 108) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 108$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 108) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 108]}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 108$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Comme $108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $108$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 108) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 108 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $108$ .

$\frac{2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 216 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 2.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{216 x + 0}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.1.6.3.2.2

Additionnez $216 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $216$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{216 x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$ .

$216 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 108)}^{2}}]$

Étape 2.2.2

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 108)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 108)}^{2}$ par $1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 108)}^{2}]}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 108$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 108$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - x (2 (x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$216 \frac{{(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 108$ à partir de ${(x^{2} + 108)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 108$ à partir de ${(x^{2} + 108)}^{2}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) - 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 108$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 108) \frac{d}{d x} [x^{2} + 108])$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 108$ à partir de $(x^{2} + 108) (x^{2} + 108) + (x^{2} + 108) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{{(x^{2} + 108)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 108$ à partir de ${(x^{2} + 108)}^{4}$ .

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$216 \frac{(x^{2} + 108) (x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108]))}{(x^{2} + 108) {(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 108$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [108])}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.9

Comme $108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $108$ par rapport à $x$ est $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$216 \frac{x^{2} + 108 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$216 \frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.16

Associez $216$ et $\frac{- 3 x^{2} + 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{216 (- 3 x^{2} + 108)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17

Simplifiez

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Étape 2.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{216 (- 3 x^{2}) + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.17.2.1

Multipliez $- 3$ par $216$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 216 \cdot 108}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.2.2

Multipliez $216$ par $108$ .

$\frac{- 648 x^{2} + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.17.3.1

Factorisez $648$ à partir de $- 648 x^{2} + 23328$ .

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Étape 2.2.17.3.1.1

Factorisez $648$ à partir de $- 648 x^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 23328}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3.1.2

Factorisez $648$ à partir de $23328$ .

$\frac{648 (- x^{2}) + 648 (36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3.1.3

Factorisez $648$ à partir de $648 (- x^{2}) + 648 (36)$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{648 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $6^{2}$ .

$\frac{648 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.2.17.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{648 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 108)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$648 (6 + x) (6 - x) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$6 + x = 0$

$6 - x = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $6 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $6 + x$ égal à $0$ .

$6 + x = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 3.3.3

Définissez $6 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $6 - x$ égal à $0$ .

$6 - x = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $6 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 6$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x = 6$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $648 (6 + x) (6 - x) = 0$ vraie.

$x = - 6, 6$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 6$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{{(- 6)}^{2} + 108}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{36 + 108}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $36$ et $108$ .

$f (- 6) = \frac{36}{144}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $36$ et $144$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$f (- 6) = \frac{36 (1)}{144}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Factorisez $36$ à partir de $144$ .

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 6) = \frac{1}{4}$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 6$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ est $(- 6, \frac{1}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 6, \frac{1}{4})$

Étape 4.3

Remplacez $6$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{{(6)}^{2} + 108}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{36}{6^{2} + 108}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{36}{36 + 108}$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $36$ et $108$ .

$f (6) = \frac{36}{144}$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun à $36$ et $144$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$f (6) = \frac{36 (1)}{144}$

Étape 4.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.2.1

Factorisez $36$ à partir de $144$ .

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (6) = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (6) = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $6$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 108}$ est $(6, \frac{1}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(6, \frac{1}{4})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6.1$ dans l’expression.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 - (- 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 (6 - 6.1) (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $6.1$ de $6$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{648 \cdot (- 0.1 (6 + 6.1))}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Associez les exposants.

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $648$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 64.8 (6 + 6.1)}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $- 64.8$ par $6 + 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{({(- 6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.1

Élevez $- 6.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $37.21$ et $108$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{{145.21}^{3}}$

Étape 6.2.3.3

Élevez $145.21$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{- 784.08}{3061889.942761}$

Étape 6.2.4

Divisez $- 784.08$ par $3061889.942761$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.00025607$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Étape 6.3

Sur $- 6.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00025607$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 6)$

Diminue sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, 6)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 - (0))}{{({(0)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 (6 + 0) (6 + 0)}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.1.2

Élevez $6 + 0$ à la puissance $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.1.3

Élevez $6 + 0$ à la puissance $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 ((6 + 0) (6 + 0))}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{648 {(6 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 6^{2}}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{{(0 + 108)}^{3}}$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $0$ et $108$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{108^{3}}$

Étape 7.2.3.3

Élevez $108$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{648 \cdot 36}{1259712}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $648$ par $36$ .

$f'' (0) = \frac{23328}{1259712}$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun à $23328$ et $1259712$ .

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $23328$ à partir de $23328$ .

$f'' (0) = \frac{23328 (1)}{1259712}$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.2.1

Factorisez $23328$ à partir de $1259712$ .

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Étape 7.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{23328 \cdot 1}{23328 \cdot 54}$

Étape 7.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{1}{54}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{54}$ .

$\frac{1}{54}$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $0.0\overline{185}$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 6, 6)$ .

Augmente sur $(- 6, 6)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6.1$ dans l’expression.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - (6.1))}{{({(6.1)}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 (6 + 6.1) (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $6$ et $6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{648 \cdot (12.1 (6 - 6.1))}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.3.1

Multipliez $648$ par $12.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{7840.8 (6 - 6.1)}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.2.3.2

Multipliez $7840.8$ par $6 - 6.1$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{({6.1}^{2} + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Élevez $6.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{(37.21 + 108)}^{3}}$

Étape 8.2.3.2

Additionnez $37.21$ et $108$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{{145.21}^{3}}$

Étape 8.2.3.3

Élevez $145.21$ à la puissance $3$ .

$f'' (6.1) = \frac{- 784.07999999}{3061889.942761}$

Étape 8.2.4

Divisez $- 784.07999999$ par $3061889.942761$ .

$f'' (6.1) = - 0.00025607$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- 0.00025607$ .

$- 0.00025607$

Étape 8.3

Sur $6.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00025607$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(6, \infty)$

Diminue sur $(6, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$ .

$(- 6, \frac{1}{4}), (6, \frac{1}{4})$

Étape 10