Calcul infinitésimal Exemples

$y = (\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc (x) + \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)] + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\csc (x) - \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 4.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 4.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\csc (x) + \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 7

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Développez $(- \cot (x) \csc (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \cot (x) \csc (x) (\csc (x) + \cot (x)) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \cot (x) \csc (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \cot (x) \csc (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $- \cot (x) \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 9.2.2.1.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)) - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.1.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $- \cot (x) \csc (x) \cot (x)$ .

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Étape 9.2.2.1.2.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.2.2

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.3

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.2.1.3.1

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc (x)$ .

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Étape 9.2.2.1.3.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \csc^{1} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + {\csc (x)}^{2 + 1} + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.1.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $- \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ et $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$0 - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.2.4

Soustrayez $\cot^{2} (x) \csc (x)$ de $0$ .

$- \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.3.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.3.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.4

Remettez dans l’ordre $- \cot^{2} (x)$ et $\csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc (x) \cdot 1 + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.6

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) + (- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.7

Développez $(- \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) - \cot (x) \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) - \cot (x) \csc (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Étape 9.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) - \cot (x) \csc (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.8.1.1

Multipliez $- \cot (x) \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 9.2.8.1.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)) - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.1.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) - \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) - \cot (x) \csc (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2

Multipliez $- \cot (x) \csc (x) (- \cot (x))$ .

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Étape 9.2.8.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + 1 \cot (x) \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2.2

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot (x) \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2.3

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2.4

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.3

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.8.1.3.1

Déplacez $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.3.2

Multipliez $\csc (x)$ par $\csc^{2} (x)$ .

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Étape 9.2.8.1.3.2.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Étape 9.2.8.1.4

Multipliez $- \csc^{2} (x) (- \cot (x))$ .

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Étape 9.2.8.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x) + 1 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 9.2.8.1.4.2

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $1$ .

$\csc (x) - \cot (x) \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 9.2.8.2

Réorganisez les facteurs de $- \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 9.2.8.3

Additionnez $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ et $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) + 0 + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 9.2.8.4

Additionnez $0$ et $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 9.2.9

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$ .

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Étape 9.2.9.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 9.2.9.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 9.2.9.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x))$

Étape 9.2.10

Remettez dans l’ordre $\cot^{2} (x)$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))$

Étape 9.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))$

Étape 9.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $\cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))$

Étape 9.2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))$

Étape 9.2.14

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc (x) + \csc (x) (- 1 \cdot 1)$

Étape 9.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cdot - 1$

Étape 9.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 \cdot \csc (x)$

Étape 9.2.17

Réécrivez $- 1 \csc (x)$ comme $- \csc (x)$ .

$\csc (x) - \csc (x)$

Étape 9.3

Soustrayez $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$0$