Calcul infinitésimal Exemples

$y = (4 x^{2} + 9) (2 x - 3 + \frac{7}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x^{2} + 9$ et $g (x) = 2 x - 3 + \frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [2 x - 3 + \frac{7}{x}] + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3 + \frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

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Étape 5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 + 7 (- x^{- 2})) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 x^{- 2}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + 0 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 - 7 \frac{1}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 6.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(4 x^{2} + 9) (2 + \frac{- 7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$(4 x^{2} + 9) (2 - \frac{7}{x^{2}}) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 8

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 8.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x + 0)$

Étape 9.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + (2 x - 3 + \frac{7}{x}) (8 x)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 2 x (8 x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x \cdot x - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 (x^{1} x^{1}) - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{1 + 1} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 3 (8 x) + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.6

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{7}{x} (8 x)$

Étape 10.2.7

Associez $8$ et $\frac{7}{x}$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{8 \cdot 7}{x} x$

Étape 10.2.8

Multipliez $8$ par $7$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56}{x} x$

Étape 10.2.9

Associez $\frac{56}{x}$ et $x$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Étape 10.2.10

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 10.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + \frac{56 x}{x}$

Étape 10.2.10.2

Divisez $56$ par $1$ .

$(4 x^{2} + 9) (- \frac{7}{x^{2}} + 2) + 16 x^{2} - 24 x + 56$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 x^{2} + (- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Étape 10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1

Développez $(- \frac{7}{x^{2}} + 2) (4 x^{2} + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2} + 9) + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Étape 10.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2} + 9) - 24 x + 56$

Étape 10.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x^{2} - \frac{7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (4 x^{2}) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$16 x^{2} + \frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} \cdot 4) - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$16 x^{2} - 7 \cdot 4 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{7}{x^{2}} \cdot 9 + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $- \frac{7}{x^{2}} \cdot 9$ .

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Étape 10.4.2.1.3.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$16 x^{2} - 28 - 9 \frac{7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{7}{x^{2}}$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 9 \cdot 7}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $7$ .

$16 x^{2} - 28 + \frac{- 63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 2 \cdot 9 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $2$ par $9$ .

$16 x^{2} - 28 - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} + 18 - 24 x + 56$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $- 28$ et $18$ .

$16 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} + 8 x^{2} - 10 - 24 x + 56$

Étape 10.5

Additionnez $16 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 10 - 24 x + 56$

Étape 10.6

Additionnez $- 10$ et $56$ .

$24 x^{2} - \frac{63}{x^{2}} - 24 x + 46$