Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$

Étape 1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté droit.

$lim_{x \to \infty^{+}} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$

Étape 2

Associez des termes.

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Étape 2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty^{+}} {(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{x}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty^{+}} {(\frac{x - 1}{x})}^{x}$

Étape 3

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(\frac{x - 1}{x})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x - 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty^{+}} e^{\ln ({(\frac{x - 1}{x})}^{x})}$

Étape 3.2

Développez $\ln ({(\frac{x - 1}{x})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty^{+}} e^{x \ln (\frac{x - 1}{x})}$

Étape 4

Comme il n’y a aucune valeur à droite de $\infty$ dans le domaine de $e^{x \ln (\frac{x - 1}{x})}$ , la limite n’existe pas.

$N’existe pas$