Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - (x^{2} - 2 x + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 2 x - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Étape 1.1.3.3.2.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2.2

Additionnez $2 x^{2} - x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ comme $- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$ .

$- ({(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1)$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- (1 - 2 \cdot - 1 + 1)$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- (1 + 2 + 1)$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.3.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$- (3 + 1)$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Divisez ${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ par $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2 + 1$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 4.2.2.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 4), (1, 0)$

Étape 5