Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 3 + 8$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Additionnez $3$ et $8$ .

$2 i^{2} - i + 11$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{i = 5}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = \sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 - \sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{24} 2 i^{2} - i + 11 = 2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{24} i + \sum_{k = 1}^{24} 11$

Étape 3.2

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

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Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(2) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.1.1

Additionnez $24$ et $1$ .

$2 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Multipliez $24$ par $25$ .

$2 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$2 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Étape 3.2.3.1.3

Additionnez $48$ et $1$ .

$2 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Étape 3.2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Multipliez $600$ par $49$ .

$2 (\frac{29400}{6})$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \frac{29400}{2 (3)}$

Étape 3.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{29400}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{29400}{3}$

Étape 3.2.3.2.3

Divisez $29400$ par $3$ .

$9800$

Étape 3.3

Évaluez $1 \sum_{k = 1}^{24} i$ .

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Étape 3.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 1) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Additionnez $24$ et $1$ .

$- 1 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $24$ par $25$ .

$- 1 (\frac{600}{2})$

Étape 3.3.3.3

Divisez $600$ par $2$ .

$- 1 \cdot 300$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $300$ .

$- 300$

Étape 3.4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{24} 11$ .

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Étape 3.4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(11) (24)$

Étape 3.4.3

Multipliez $11$ par $24$ .

$264$

Étape 3.5

Additionnez les résultats des additions.

$9800 - 300 + 264$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Soustrayez $300$ de $9800$ .

$9500 + 264$

Étape 3.6.2

Additionnez $9500$ et $264$ .

$9764$

Étape 4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{4} 2 i^{2} - i + 11$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$2 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 1 \cdot 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + 11 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $11$ .

$12 + 2 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 + 8 - 1 \cdot 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 + 8 - 2 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.9

Soustrayez $2$ de $8$ .

$12 + 6 + 11 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.10

Additionnez $6$ et $11$ .

$12 + 17 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.11

Additionnez $12$ et $17$ .

$29 + 2 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$29 + 2 \cdot 9 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.13

Multipliez $2$ par $9$ .

$29 + 18 - 1 \cdot 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.14

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$29 + 18 - 3 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.15

Soustrayez $3$ de $18$ .

$29 + 15 + 11 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.16

Additionnez $15$ et $11$ .

$29 + 26 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.17

Additionnez $29$ et $26$ .

$55 + 2 \cdot 4^{2} - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.18

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$55 + 2 \cdot 16 - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.19

Multipliez $2$ par $16$ .

$55 + 32 - 1 \cdot 4 + 11$

Étape 4.2.20

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$55 + 32 - 4 + 11$

Étape 4.2.21

Soustrayez $4$ de $32$ .

$55 + 28 + 11$

Étape 4.2.22

Additionnez $28$ et $11$ .

$55 + 39$

Étape 4.2.23

Additionnez $55$ et $39$ .

$94$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$9764 - 94$

Étape 6

Soustrayez $94$ de $9764$ .

$9670$