Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t]$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t]$

Étape 2

Comme $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{x} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ par rapport à $x$ est $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- x^{- 2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$

Étape 5.3

Associez $- \frac{1}{x^{2}}$ et $\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t$ .

$- \frac{\int_{2}^{x} \sqrt{1 + t^{2}} d t}{x^{2}}$