Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x)$ , $a = \frac{7 π}{2}$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = \frac{7 π}{2}$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (\frac{7 π}{2}) + f' (\frac{7 π}{2}) (x - \frac{7 π}{2})$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{7 π}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez $\cos (\frac{7 π}{2})$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{7 π}{2})$

Étape 3.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2})$

Étape 3.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $\frac{7 π}{2}$ .

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Étape 4.1

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{2}$ dans l’expression.

$- \sin (\frac{7 π}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.3.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 0 + 1 (x - \frac{7 π}{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Additionnez $0$ et $1 (x - \frac{7 π}{2})$ .

$L (x) = 1 (x - \frac{7 π}{2})$

Étape 6.2

Multipliez $x - \frac{7 π}{2}$ par $1$ .

$L (x) = x - \frac{7 π}{2}$

Étape 7