Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 9$ et $g (x) = x^{2} - 81$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 81) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 81$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81]}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 81 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 81 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{x^{2} - 81 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 81 - 18 x}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ et dont la somme est $b = - 18$ .

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Étape 2.1.3.5.1.1

Factorisez $- 18$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 18 (x) - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Réécrivez $- 18$ comme $- 9$ plus $- 9$

$\frac{- x^{2} + (- 9 - 9) x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 9 x - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 9 x) - 9 x - 81}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 9) + 9 (- x - 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 81)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.6.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x^{2} - 9^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{((x + 9) (x - 9))}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{(- x - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (9)) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.4

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9) (x + 9)}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.5

Élevez $x + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} (x + 9))}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.6

Élevez $x + 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 9)}^{1} {(x + 9)}^{1})}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{1 + 1}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8

Annulez le facteur commun de ${(x + 9)}^{2}$ .

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Étape 2.1.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 {(x + 9)}^{2}}{{(x + 9)}^{2} {(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 81}$ augmente et diminue est $(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$ .

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 9)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - \frac{1}{{((8) - 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $9$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (8) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (8) = - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (8) = - 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 9)$ .

Diminue sur $(- \infty, 9)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = - \frac{1}{{((10) - 9)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1.1

Soustrayez $9$ de $10$ .

$f' (10) = - \frac{1}{1^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Étape 8.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (10) = - \frac{1}{1}$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (10) = - 1 \cdot 1$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (10) = - 1$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 8.3

Sur $x = 10$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(9, \infty)$ .

Diminue sur $(9, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 9), (9, \infty)$

Étape 10