Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}] + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot 0)$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} + 0)$

Étape 13.2

Additionnez $- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ et $0$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Multipliez $- \sin (x)$ par $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.1.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 14.2.1.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3

Associez des termes.

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Étape 14.3.1

Annulez le facteur commun à $- \sin (x) - 1$ et ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 14.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.4

Réécrivez $- (\sin (x) + 1)$ comme $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.6

Factorisez $1 + \sin (x)$ à partir de $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}})$

Étape 14.3.1.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.1.7.1

Factorisez $1 + \sin (x)$ à partir de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Étape 14.3.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))})$

Étape 14.3.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- \frac{- 1}{1 + \sin (x)})$

Étape 14.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (- - \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Étape 14.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} (1 \frac{1}{1 + \sin (x)})$

Étape 14.3.4

Multipliez $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ par $1$ .

$2 \frac{- \cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 15

Associez des termes.

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Étape 15.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}) \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 15.3

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 15.5

Multipliez $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 15.6

Élevez $1 + \sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x))}$

Étape 15.7

Élevez $1 + \sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1}}$

Étape 15.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{1 + 1}}$

Étape 15.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$