Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- 5 x}$

Étape 1

Écrivez $x e^{- 5 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{- 5 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x e^{- 5 x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 5 x}$ .

$x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{5}$ .

$x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Étape 6

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Étape 8

Laissez $u = - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Étape 9

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 9.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Étape 12

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Étape 12.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Étape 13

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Étape 14

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Étape 14.1

Réécrivez $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 14.2

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Étape 14.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 14.2.2

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{x}{5}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 16

Associez $e^{- 5 x}$ et $\frac{1}{25}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x e^{- 5 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$