Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ , $y = x^{2} - 3$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$

Étape 1.2

Résolvez $x^{4} - 4 x^{2} + 1 = x^{2} - 3$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} = - 3$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$

Étape 1.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 5 u + 1 = - 3$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 5 u + 1 + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $u^{2} - 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.7

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 1.2.8

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 1.2.8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 1.2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 4, 1$

Étape 1.2.10

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 3$

Étape 1.2.11

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.12.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.12.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.12.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.2.13

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 1.2.14

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.14.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.14.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.14.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.14.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.14.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.14.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.2.15

La solution à $x^{4} - 5 x^{2} + 1 = - 3$ est $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 3$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = {(2)}^{2} - 3$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2^{2} - 3$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $2^{2} - 3$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 4 - 3$

Étape 1.3.2.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$y = 1$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = {(1)}^{2} - 3$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{2} - 3$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{2} - 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez $1^{2} - 3$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - 3$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = - 2$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(1, - 2)$

$(- 1, - 2)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 2$ et $- 1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Additionnez $x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Étape 3.11

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Étape 3.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Étape 3.12.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Étape 3.12.3

Évaluez $- 4 x$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4

Simplifiez

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Étape 3.12.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.6

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.8

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.9

Associez $5$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.10

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.13

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.16

Multipliez $\frac{32}{5}$ par $1$ .

$\frac{35}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35}{3} - \frac{- 1 + 32}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.18

Additionnez $- 1$ et $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.19

Pour écrire $\frac{35}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.20

Pour écrire $- \frac{31}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.12.4.21.1

Multipliez $\frac{35}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.21.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.21.3

Multipliez $\frac{31}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.21.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.23.1

Multipliez $35$ par $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.23.2

Multipliez $- 31$ par $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.23.3

Soustrayez $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.24

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{82}{15} + 4 + 4 \cdot - 2$

Étape 3.12.4.25

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{82}{15} + 4 - 8$

Étape 3.12.4.26

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Étape 3.12.4.27

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Étape 3.12.4.28

Associez $- 4$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Étape 3.12.4.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Étape 3.12.4.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.30.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Étape 3.12.4.30.2

Soustrayez $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Étape 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 3 d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $1$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - (x^{2} - 3) d x$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} - - 3$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} + 1 - x^{2} + 3 d x$

Étape 5.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 1 + 3$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Étape 5.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Étape 5.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Étape 5.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Étape 5.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Étape 5.9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Étape 5.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.10.1

Associez $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ et $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 5.10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.10.2.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Étape 5.10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3

Simplifiez

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Étape 5.10.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.5

Associez $4$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.10.2.3.7.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.7.2

Additionnez $1$ et $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.9

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.12

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.13

Associez $- 4$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.10.2.3.15.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.15.2

Soustrayez $20$ de $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.18

Multipliez $\frac{21}{5}$ par $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.20

Additionnez $21$ et $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 5.10.2.3.22

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Étape 5.10.2.3.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Étape 5.10.2.3.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Étape 5.10.2.3.25

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 5.10.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Étape 5.10.2.3.27

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Étape 5.10.2.3.28

Associez $- 5$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Étape 5.10.2.3.29

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Étape 5.10.2.3.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Étape 5.10.2.3.31

Pour écrire $\frac{42}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Étape 5.10.2.3.32

Pour écrire $- \frac{10}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 5.10.2.3.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.10.2.3.33.1

Multipliez $\frac{42}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 5.10.2.3.33.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 5.10.2.3.33.3

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Étape 5.10.2.3.33.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Étape 5.10.2.3.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Étape 5.10.2.3.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.10.2.3.35.1

Multipliez $42$ par $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Étape 5.10.2.3.35.2

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Étape 5.10.2.3.35.3

Soustrayez $50$ de $126$ .

$\frac{76}{15}$

Étape 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 3 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} + 1 d x$

Étape 7

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $2$ .

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Étape 7.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 - x^{4} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 3 - x^{4} + 4 x^{2} - 1 d x$

Étape 7.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.3.1

Additionnez $x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} - 3 - x^{4} - 1$

Étape 7.3.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$5 x^{2} - x^{4} - 4$

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - x^{4} - 4 d x$

Étape 7.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} x^{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.10

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x$

Étape 7.11

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Étape 7.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Étape 7.12.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + - 4 x]_{1}^{2}$

Étape 7.12.3

Évaluez $- 4 x$ sur $2$ et sur $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4

Simplifiez

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Étape 7.12.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{8 - 1}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.5

Associez $5$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.6

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.7

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{35}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5}) + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35}{3} - \frac{32 - 1}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.10

Soustrayez $1$ de $32$ .

$\frac{35}{3} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.11

Pour écrire $\frac{35}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.12

Pour écrire $- \frac{31}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.12.4.13.1

Multipliez $\frac{35}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.13.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.13.3

Multipliez $\frac{31}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.13.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{35 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.12.4.15.1

Multipliez $35$ par $5$ .

$\frac{175 - 31 \cdot 3}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.15.2

Multipliez $- 31$ par $3$ .

$\frac{175 - 93}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.15.3

Soustrayez $93$ de $175$ .

$\frac{82}{15} + (- 4 \cdot 2) + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.16

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4 \cdot 1$

Étape 7.12.4.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{82}{15} - 8 + 4$

Étape 7.12.4.18

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$\frac{82}{15} - 4$

Étape 7.12.4.19

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} - 4 \cdot \frac{15}{15}$

Étape 7.12.4.20

Associez $- 4$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{82}{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{15}$

Étape 7.12.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{82 - 4 \cdot 15}{15}$

Étape 7.12.4.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.12.4.22.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$\frac{82 - 60}{15}$

Étape 7.12.4.22.2

Soustrayez $60$ de $82$ .

$\frac{22}{15}$

Étape 8

Additionnez les aires $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Additionnez $22$ et $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Étape 8.2.2

Additionnez $98$ et $22$ .

$\frac{120}{15}$

Étape 8.2.3

Divisez $120$ par $15$ .

$8$

Étape 9